Una vez que hayas dado de alta tu dominio en G Suite, deberás de modificar sus registros MX para poder empezar a utilizar sus servicios de correo.
Si eres un cliente de SiteGround, puedes hacerlo fácilmente desde tu cPanel -> Entrada de MX. Necesitarás seleccionar el dominio que apuntarás a G Suite, eliminar cualquier registro de MX que haya en ese momento y añadir los siguientes:
Prioridad Servicio de correo
1 ASPMX.L.GOOGLE.COM.
5 ALT1.ASPMX.L.GOOGLE.COM.
5 ALT2.ASPMX.L.GOOGLE.COM.
10 ALT3.ASPMX.L.GOOGLE.COM.
10 ALT4.ASPMX.L.GOOGLE.COM.